《从1到π———大数据与治理现代化》，蓝云编著，南方日报出版社2017年5月版。

　　两个酋长比数字大小。一个酋长想了想，先说了“3”。第二个酋长想了半天，说你赢了。

　　这样一个原始部落中的故事，出自美籍俄裔物理学家乔治·伽莫夫那本著名的科普读物，《从一到无穷大》。在远古社会，物质极其缺乏，很少会超过3，对3以上的东西他们称之为“许多”或者叫数不清，更谈不上完整的计数系统。对他们而言，超过3就是大了、多了，就会糊涂了。一般认为，远古“信息爆炸”导致人们的头脑装不下这些“信息”，文字就出现了，人们的财产多到需要数一数才能搞清楚的时候，数字就出现了。上个世纪70年代，考古学家在南非和斯威士兰之间的乐邦博山上发现多根35，000年前的狒狒腓骨，上面有一道又一道划痕。科学家认为这是迄今发现的最早的人类计数工具，说明在35，000年前，人类就开始计数了（吴军：《数学之美》，人民邮电出版社，2014年11月第2版，第7页）。

　　1个人，2个人，3个人……1只羊，2只羊，3只羊……1根木头，2根木头，3根木头……慢慢地，就建立了自然数体系。1根木头折成一半，或是折成三块，那又是什么？原来还有分数，1/2、1/3……

　　自然数、分数就构成了有理数，就是人类能理解的，一切貌似都是那么友好，那么有序，那么有规则。毕达哥拉斯（约前580—前500）是古希腊著名的数学家和哲学家，他带领300个门徒形成了毕达哥拉斯学派。“数”与“和谐”是他们的主要观点，数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物。

　　社会的发展、人的认知及探索会超越许多东西。画一个边长为1的正方形，对角线的长度为“√2”。正是毕达哥拉斯的门徒首次发现了√2。√2是一个怪物，是一个无限不循环小数，根本不是自然数或分数。这带来了第一次数学危机。

　　原来有理数之外，还有更多的无理数，无限、不循环、无规则才是大多数，有限、循环、有规则只是小部分。自从希腊人知道了√2不能用分数表示之后，他们将对“数”的热情转移到“形”上，这推进了几何学快速发展。其中最杰出的代表就是欧几里得（约前330—前275），他以“等量间彼此相等”等5个公理、“从一点到另一点可作一条直线”等5个公设为前提，创建了“欧几里得”几何。他的《几何原本》，集当时全部几何知识之大成并加以系统化，构成一个标准化的演绎体系，将希腊几何提升到一个新水平。在2000多年的时期内，《几何原本》既是几何教科书，又被当作严密科学思维的典范。它对西方数学与哲学的思想，都有重要的影响。典型案例有牛顿的《自然哲学的数学原理》、斯宾诺莎的《伦理学》和美国的《独立宣言》等（张景中：《数学哲学》，湖北科学技术出版社，2016年1月第1版，第22页）。爱因斯坦对此很有感慨，他认为，“如果欧几里得未能激起你少年时代的热情，那么你就不是一个天生的科学思想家”。

　　你可能会追问，“公理”“公设”又是什么，可靠吗，一定准确吗，谁来证明，怎样证明？按字面意思，“公理”“公设”是自明之理、天然之理，是一个理论体系、一个社会体系的前提和基础，是不需、不用、不能证明的道理，比如在发现地球引力之前人类所认知的“水往低处流”就是“公理”，西方政治体系的一个基本认知“天赋人权”中的“天”就是“公理”。偏偏有人不完全认可欧式几何的“公设”，尤其是第5条“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交”（后人证明与“三角形内角和为180°”等价），数学家罗巴切夫斯基（1792—1856）、黎曼（1826—1866）分别创立了另外一套几何体系，阐释了各自的空间现象。欧式几何与我们的经验认知最贴近，而现代物理学选择了黎曼几何。非欧几何的创立，标志着数学真理性的终结。

　　数学家可以探索任何可能的问题，建构任何可能的公理体系，理论数学从此得到空前的发展。数学经历了一个自由的新生，它不再被束缚于直接从现实世界抽象而得到的概念，而有了探索人类心智的创造的自由（张景中：《数学哲学》，湖北科学技术出版社，2016年1月第1版，第85页）。这种思维方式不只体现在几何学的探索上，还有对虚数的定义、认知上。

　　另一个也很奇怪的故事是虚数的产生。-1的平方根，是数学运算的结果，最早只是思维的产物。在几百年的历史中，大家认为它只是虚幻的产物，没有任何实际意义，后来发现它并不是，它与二维空间的坐标系有天然、妙不可思的联系。比如“3+4i”表示的是横坐标为3、纵坐标为4的点。1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。继欧拉（1707—1783）之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯（1777—1855）又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。在这之后，还有四元数、八元数。

　　危机有了第一次，就有第二次。这个危机的苗头很早就有了，只是大家没有意识到。《庄子》有云，一尺之捶，日取其半，万世不竭。类似的故事还有，“兔子永远追不上乌龟” （芝诺悖论）。这蕴含了对无穷小量、极限的认知。与根号2一样，无穷小量是数学世界的魂魄，沉睡许久，一经发现，就爆发无穷力量。在前人研究的基础上，两位伟大的数学家牛顿（1643—1727）、莱布尼兹（1646-1716）创立了微积分。这个微积分是数学发展历程中的里程碑事件，是初等数学、高等数学的一个重要分界点。经过第二次危机，数学的重心又从“形”回到了“数”。

　　还有第三次危机，这就是“罗素悖论”引起的轩然大波。罗素（1872—1970）是英国一位著名的杂家，哲学、数学和社会改革领域均有广泛涉及，还获得过诺贝尔文学奖。“罗素悖论”有很多通俗化的模型，比如有“‘我说的话都是假的’这句话是真是假”“某村有一位理发师，他只给村里一切不给自己刮脸的人刮脸。那么，他给不给自己刮脸呢？”等。罗素发现，自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来，这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。

　　在中国科学院院士张景中看来，第一次危机的结果，是严格的实数理论的建立，数学家回答了“什么是连续性”这个古老的哲学问题。第二次危机的结果，是微积分的严密基础的建立，彻底弄清了“芝诺悖论”，回答了“运动是怎么回事”这个古老的哲学问题。第三次危机，涉及了“数学自身的基础是什么”，一些卓越的数学家卷入了关于数学本质问题的激烈争论之中。危机的结果，产生了“数学基础”这个至今尚在蓬勃发展的数学领域。

　　数学这座高楼大厦有无数砖块构成，每一个砖块都是一个节点、数点，几乎每一个数点都有丰富的传奇。比如说0、1、π。

　　10个阿拉伯数字中，最晚出生的是“0”，最神奇的、最有故事的也是这个代表什么都没有的“0”。“0”的出现是数学史上一大创造，它的起源深受佛教大乘空宗的影响。0乘以任何一个数，都使这个数变成0。大乘空宗的“空”，在某种意义上也可以看做是原点，是佛教认识万事万物的根本出发点。各位记住了，“0”是出发点，不是“1”或其他任何数字。同样的逻辑及社会认同，星期日是一个星期的第一天。

　　1是什么？这个问题似乎很简单，原始人，或者是现代人的牙牙学语节都知道，1个人、1只羊、1根手指……可以把这些再抽象，人、羊、手指都去掉，就剩下一个赤裸裸的1。在数学思维里，还可以再抽象，只考虑“任何数乘1”这一条性质，抽象结果，得到更抽象、更赤裸裸的“幺元素”或“单位”。于是，数1、向量0、单位矩阵以及恒等函数f（x）=x都是相应运算下来的“1”，即幺元素。

　　π（圆周率）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。对其的计算和认知经历了几何法时期、分析法时期、计算机时代。古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212年)开创了人类历史上通过几何上的理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取

　　汉朝时，张衡得出

　　即

（约为3.162）

　　这个值不太准确，但它简单易理解。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率

　　和约率

　　在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。分析法时期，人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位（据百度百科）。

　　人类的社会生活推进了数字认知，每一次危机带来的是更大、更开阔的世界。伽利略曾经说过：“数学是上帝描写自然的语言。”纯数学使我们能够发现概念及其规律，这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙。数学既是对自然界事实的总结、归纳、推导和提炼，又是抽象思考的结果，数学思维及体系反过来作用自然世界。（蓝云/著）

　　（编者注：全文具体表述，含数学公式、符号以及脚注等，以南方日报出版社正式书面出版物为准）